Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:
Tripel Pythagoras
Tiga bilangan x, y, dan z merupakan tripel Pythagoras apabila memenuhi:
x² + y² = z², dengan z > x, z > y, dan x, y, z > 0.
Pada segitiga siku-siku:
- x dan y menyatakan panjang masing-masing sisi siku-sikunya, dan
- z menyatakan panjang sisi miringnya (hipotenusa).
I. Pembuktian sederhana
Jika a² – 1, 2a, a² + 1 adalah tripel Pythagoras, maka berlaku:
(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)²
⇔ (a² – 1)² + 4a² = (a² + 1)²
Kita tahu bahwa (m + n)² = (m – n)² + 4mn, sehingga:
(a² + 1)² = (a² – 1)² + 4a²
Oleh karena itu:
(a² – 1)² + 4a² = (a² + 1)²
⇔ (a² – 1)² + 4a² = (a² – 1)² + 4a²
⇔ Ruas kiri = Ruas kanan
⇔ (a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² terbukti benar.
Berdasarkan syarat tripel Pythagoras bahwa ketiga bilangannya adalah bilangan positif, maka kita harus memeriksa interval nilai a yang memenuhi.
Interval pertama:
a² – 1 > 0
⇔ a² > 1
⇔ a < –1 atau a > 1
Interval kedua:
2a > 0
⇔ a > 0
Penggabungan kedua interval tersebut:
(a < –1 atau a > 1) DAN (a > 0)
⇔ a > 1
Interval ketiga, yaitu a² + 1 > 0 tidak perlu dicari, karena jika a > 1, maka pastilah a² + 1 > 0.
∴ Dengan demikian, telah terbukti bahwa (a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² dengan a ∈ bilangan asli dan a > 1, sehingga dapat disimpulkan bahwa
a² – 1, 2a, a² + 1 merupakan tripel Pythagoras dengan a ∈ bilangan asli dan a > 1.
II. Pembuktian dengan induksi matematika
Jika a² – 1, 2a, a² + 1 dengan a ∈ bilangan asli dan a > 1 adalah tripel Pythagoras, maka harus dibuktikan bahwa
(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² dengan a sembarang bilangan asli > 1.
Karena a ∈ bilangan asli dan a > 1, maka pertama-tama akan ditunjukkan bahwa (a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² benar untuk a = 2.
(2² – 1)² + (2×2)² = (2² + 1)²
⇔ 3² + 4² = 5²
⇔ 9 + 16 = 25
⇔ 25 = 25
⇔ terbukti benar.
Selanjutnya, kita asumsikan bahwa
(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² benar untuk a = n, yaitu
(n² – 1)² + (2n)² = (n² + 1)²
dengan n ∈ bilangan asli dan n > 1.
Akan ditunjukkan bahwa
(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² juga benar untuk a = n + 1, yaitu
(n+1)² – 1² + 2(n+1)² = (n+1)² + 1²
dengan n ∈ bilangan asli dan n > 1.
(n+1)² – 1² + 2(n+1)² = (n+1)² + 1²
⇔ (n+1)²² – 2(n+1)² + 1 + 4(n+1)² = (n+1)² + 1²
⇔ (n+1)²² – 2(n+1)² + 4(n+1)² + 1 = (n+1)² + 1²
⇔ (n+1)²² + (–2+4)(n+1)² + 1 = (n+1)² + 1²
⇔ (n+1)²² + 2(n+1)² + 1 = (n+1)² + 1²
⇔ (n+1)² + 1² = (n+1)² + 1² (terbukti)
∴ Dengan demikian, telah terbukti bahwa (a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² untuk a = 2, a = n (asumsi), dan a = n + 1, sehingga dapat disimpulkan bahwa
