Education

Untuk mendapatkan sebarang tripel pythagoras, kita dapat menggunakan rumus a\xb2 – 1, 2a, dan a\xb2 + 1 dengan a sebarang bilangan asli lebih dari 1. (Mengapa?) Buktikan bahwa rumus itu benar, perhatikan gambar 6.5 berikut, maaf bantu dong mau dikumpulin besok kak jangan asal,

Written by Winona · 1 min read >


Untuk mendapatkan sebarang tripel pythagoras, kita dapat menggunakan rumus a² – 1, 2a, dan a² + 1 dengan a sebarang bilangan asli lebih dari 1. (Mengapa?) Buktikan bahwa rumus itu benar


perhatikan gambar 6.5 berikut

maaf bantu dong mau dikumpulin besok kak jangan asal

1f2dc345f7d3d6e0c566fe7b61b89897

Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Tripel Pythagoras

Tiga bilangan x, y, dan z merupakan tripel Pythagoras apabila memenuhi:

x² + y² = z²,  dengan z > x, z > y, dan x, y, z > 0.

Pada segitiga siku-siku:

  • x dan y menyatakan panjang masing-masing sisi siku-sikunya, dan
  • z menyatakan panjang sisi miringnya (hipotenusa).

I. Pembuktian sederhana

Jika a² – 1, 2a, a² + 1 adalah tripel Pythagoras, maka berlaku:

(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)²

⇔ (a² – 1)² + 4a² = (a² + 1)²

Kita tahu bahwa (m + n)² = (m – n)² + 4mn, sehingga:

(a² + 1)² = (a² – 1)² + 4a²

Oleh karena itu:

(a² – 1)² + 4a² = (a² + 1)²

⇔ (a² – 1)² + 4a² = (a² – 1)² + 4a²

⇔ Ruas kiri = Ruas kanan

(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² terbukti benar.

Berdasarkan syarat tripel Pythagoras bahwa ketiga bilangannya adalah bilangan positif, maka kita harus memeriksa interval nilai a yang memenuhi.

Interval pertama:

a² – 1 > 0

⇔ a² > 1

⇔ a < –1 atau a > 1

Interval kedua:

2a > 0

⇔ a > 0

Penggabungan kedua interval tersebut:

(a < –1 atau a > 1) DAN (a > 0)

a > 1

Interval ketiga, yaitu a² + 1 > 0 tidak perlu dicari, karena jika a > 1, maka pastilah a² + 1 > 0.

∴  Dengan demikian, telah terbukti bahwa (a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² dengan a ∈ bilangan asli dan a > 1, sehingga dapat disimpulkan bahwa

a² – 1, 2a, a² + 1 merupakan tripel Pythagoras dengan a ∈ bilangan asli dan a > 1.

II. Pembuktian dengan induksi matematika

Jika a² – 1, 2a, a² + 1 dengan a ∈ bilangan asli dan a > 1 adalah tripel Pythagoras, maka harus dibuktikan bahwa

(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² dengan a sembarang bilangan asli > 1.

Karena a ∈ bilangan asli dan a > 1, maka pertama-tama akan ditunjukkan bahwa (a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² benar untuk a = 2.

(2² – 1)² + (2×2)² = (2² + 1)²

⇔ 3² + 4² = 5²

⇔ 9 + 16 = 25

⇔ 25 = 25

terbukti benar.

Selanjutnya, kita asumsikan bahwa

(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² benar untuk a = n, yaitu

(n² – 1)² + (2n)² = (n² + 1)²

dengan n ∈ bilangan asli dan n > 1.

Akan ditunjukkan bahwa

(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² juga benar untuk a = n + 1, yaitu

(n+1)² – 1² + 2(n+1)² = (n+1)² + 1²

dengan n ∈ bilangan asli dan n > 1.

(n+1)² – 1² + 2(n+1)² = (n+1)² + 1²

⇔ (n+1)²² – 2(n+1)² + 1 + 4(n+1)² = (n+1)² + 1²

⇔ (n+1)²² – 2(n+1)² + 4(n+1)² + 1 = (n+1)² + 1²

⇔ (n+1)²² + (–2+4)(n+1)² + 1 = (n+1)² + 1²

⇔ (n+1)²² + 2(n+1)² + 1 = (n+1)² + 1²

(n+1)² + 1² = (n+1)² + 1²  (terbukti)

∴  Dengan demikian, telah terbukti bahwa (a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² untuk a = 2, a = n (asumsi), dan a = n + 1, sehingga dapat disimpulkan bahwa

a² – 1, 2a, a² + 1 merupakan tripel Pythagoras dengan a ∈ bilangan asli dan a > 1.


Patulong po pwede 3 – 5 sentences

Winona in Education
  ·   5 sec read

Leave a Reply

Your email address will not be published.